Создание собственной симуляции активной материи на Python

Сегодня наша задача  —  создать симуляцию активной материи, т. е. роевое поведение. С помощью этой системы можно имитировать поведение стаи птиц или косяка рыб, а также увидеть, как из простых правил появляются самоупорядоченные движения.

Сопровождающий код Python на github.

Для начала посмотрите, как выглядит симуляция при запуске:

Модель Вичека для поведения стаи

Разберём известную минимальную модель активной материи  —  модель Вичека (1995 г.). Несмотря на простоту модели, она отображает общие свойства роевого поведения.

Модель состоит из N движущихся частиц, индексируемых на i=1,…, N. У каждой частицы есть угол направления Θᵢ, по которому она движется. Все они двигаются с одинаковой скоростью v₀. Частицы взаимодействуют друг с другом внутри радиуса взаимодействия R, в результате чего изменяют своё направление (угол).

На каждой фазе положении rᵢ каждой частицы i обновляется следующем образом:

В соответствии со скоростью частицы vᵢ:

Динамичность модели Вичека зависит от того, как сменяются углы. А их смена происходит согласно следующему правилу:

Где первый член  —  этосредний угол направлениявсех соседей частицы i внутри R (включая саму частицу). А второй ηᵢ  —  это случайное отклонение, полученное в результате равномерного распределения [-η/2,η/2].

Код симуляции

Эта модель настолько проста, что весь Python код можно изложить в одном блоке, как приведено ниже. Для вычисления среднего угла мы сложили все соседние векторы и использовали функцию numpy: arctan2, чтобы вернуть значение угла в правильном квадранте. Также мы взяли L как размер периодической области.

# Параметры симуляции

v0   = 1.0  # Скорость

eta  = 0.5  # случайный угол отклонения (в радианах)

L    = 10   # размер области

R    = 1    # радиус взаимодействия

dt   = 0.2  # фаза

Nt   = 200  # количество фаз

N    = 500  # количество частиц



# положения частицы 

x = np.random.rand(N,1)*L

y = np.random.rand(N,1)*L



# скорость частицы

theta = 2 * np.pi * np.random.rand(N,1)

vx = v0 * np.cos(theta)

vy = v0 * np.sin(theta)



# Симуляция Main Loop

for i in range(Nt):



	# движение

	x += vx*dt

	y += vy*dt

	

	# применение периодических пограничных условий

	x = x % L

	y = y % L

	

	# найти средний угол соседей в диапазоне R

	mean_theta = theta

	for b in range(N):

		neighbors = (x-x[b])**2+(y-y[b])**2 < R**2

		sx = np.sum(np.cos(theta[neighbors]))

		sy = np.sum(np.sin(theta[neighbors]))

		mean_theta[b] = np.arctan2(sy, sx)

		

	# добавление случайного отклонения

	theta = mean_theta + eta*(np.random.rand(N,1)-0.5)

	

	# изменение скорости

	vx = v0 * np.cos(theta)

	vy = v0 * np.sin(theta)

Меняя параметры симуляции, можно создавать разные паттерны поведения стаи. Кроме того, симуляция может отобразить фазовый переход между изотропным движением и обычным поведением. В примере выше имитация происходит согласно текущим параметрам модели.

При запуске кода можно посмотреть на симуляцию в реальном времени, благодаря фигурам, изображающим положение частиц после 200 фаз:

Модель Вичека очень проста и полезна. Она описывает коллективное движение, при котором отдельные частицы расходуют энергию, в результате чего теряют термическое равновесие.

В природе скворцы ведут себя подобным же образом. Их танец возникает из-за того, что одна птица пытается, как можно, точнее имитировать движение соседней. 

Существует множество дополнений к модели Вичека и к другим моделям активной материи. Но об этом не в этой статье. 

Другой пример активной материи  —  это скопление бактерий на микроскопическом уровне:

Скачайте код с github и посмотрите на поведение стаи в соответствии с моделью Вичека, а также меняйте параметры и изучайте изменения в движении.