Android: Как начать работу в фоновом режиме?

Можно ли начать деятельность в Предыстория?

Нет.

Мне нужна такая деятельность, которая может работать в фоновом режиме и икру другие мероприятия по мере необходимости в ответ к командам пользователя, выданным в мой дом Виджет экрана.

Ваш AppWidgetProvider может "порождать другие действия по мере необходимости в ответ на команды пользователя, выданные виджету "мой домашний экран"", предполагая, что под " командами пользователя "вы подразумеваете"клики".