Как вычислить производную с помощью Numpy?

NumPy не предоставляет общих функциональных возможностей для вычисления производных. Однако он может обрабатывать простой частный случай многочленов:

>>> p = numpy.poly1d([1, 0, 1])
>>> print p
   2
1 x + 1
>>> q = p.deriv()
>>> print q
2 x
>>> q(5)
10

если вы хотите вычислить производную численно, вы можете уйти с использованием центральных разностных коэффициентов для подавляющего большинства приложений. Для производной в одной точке формула будет чем-то вроде

x = 5.0
eps = numpy.sqrt(numpy.finfo(float).eps) * (1.0 + x)
print (p(x + eps) - p(x - eps)) / (2.0 * eps * x)

если у вас есть массив x абсцисс с соответствующим массивом y из значений функций вы можете вычислять аппроксимации производных с помощью

numpy.diff(y) / numpy.diff(x)

самый прямой способ, который я могу придумать, это использовать градиентная функция numpy:

x = numpy.linspace(0,10,1000)
dx = x[1]-x[0]
y = x**2 + 1
dydx = numpy.gradient(y, dx)

таким образом, dydx будет вычисляться с использованием центральных разностей и будет иметь ту же длину, что и y, в отличие от numpy.diff, который использует прямые различия и вернет (n-1) вектор размера.

если вы хотите использовать numpy можно численно вычислить производную функции в любой точке с помощью строгое определение:

def d_fun(x):
    h = 1e-5 #in theory h is an infinitesimal
    return (fun(x+h)-fun(x))/h

вы также можете использовать симметричное производное для лучших результатов:

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

используя Ваш пример, полный код должен выглядеть примерно так:

def fun(x):
    return x**2 + 1

def d_fun(x):
    h = 1e-5
    return (fun(x+h)-fun(x-h))/(2*h)

теперь вы можете численно найти производную в x=5:

In [1]: d_fun(5)
Out[1]: 9.999999999621423

Я брошу другой метод на кучу...

scipy.interpolateмногие интерполирующие сплайны способны давать производные. Итак, используя линейный сплайн (k=1), производная от сплайна (используя derivative() метод) должен быть эквивалентен прямой разнице. Я не совсем уверен, но я считаю, что использование производной кубического сплайна будет похоже на производную центрированной разности, поскольку она использует значения до и после для построения кубической сплайн.

from scipy.interpolate import InterpolatedUnivariateSpline

# Get a function that evaluates the linear spline at any x
f = InterpolatedUnivariateSpline(x, y, k=1)

# Get a function that evaluates the derivative of the linear spline at any x
dfdx = f.derivative()

# Evaluate the derivative dydx at each x location...
dydx = dfdx(x)

в зависимости от уровня точности вы требуете, вы можете решить это самостоятельно, используя простое доказательство дифференциации:

>>> (((5 + 0.1) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.1
10.09999999999998
>>> (((5 + 0.01) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.01
10.009999999999764
>>> (((5 + 0.0000000001) ** 2 + 1) - ((5) ** 2 + 1)) / 0.0000000001
10.00000082740371

мы не можем на самом деле взять предел градиента, но прикольно. Вы должны следить, хотя, потому что

>>> (((5+0.0000000000000001)**2+1)-((5)**2+1))/0.0000000000000001
0.0

для вычисления градиентов сообщество машинного обучения использует Autograd:

"эффективно вычисляет производные кода numpy."

установка:

pip install autograd

вот пример:

import autograd.numpy as np
from autograd import grad

def fct(x):
    y = x**2+1
    return y

grad_fct = grad(fct)
print(grad_fct(1.0))

Он также может вычислять градиенты сложных функций, например, многомерных функций.