Почему БПФ производит комплексные числа вместо действительных чисел?

БПФ предоставляет вам амплитуду и

да, можно представить результаты частотной области БПФ строго реального ввода, используя только реальные числа.

эти комплексные числа в результате БПФ-это просто 2 вещественных числа, которые оба необходимы, чтобы дать вам 2D координаты вектора результата, который имеет как длину, так и угол направления (или величину и фазу). И каждая частотная составляющая в результате БПФ может иметь уникальную амплитуду и уникальную фазу (относительно некоторой точки в БПФ апертура.)

одно действительное число само по себе не может представлять как величину, так и фазу. Если вы выбросите информацию о фазе, это может легко массово исказить сигнал, если вы попытаетесь воссоздать его с помощью iFFT (и сигнал не симметричен). Таким образом, полный результат БПФ требует 2 вещественных чисел на БПФ бин. Эти 2 вещественных числа объединены вместе в некоторых БПФ в сложном типе данных по общему соглашению, но результат БПФ может легко (и некоторые БПФ делают) просто произвести 2 вещественных вектора (один для косинусных координат и один для синусоидальных координат).

есть также процедуры БПФ, которые производят величину и фазу непосредственно, но они работают медленнее, чем БПФ, который производит сложный (или два реальных) векторный результат. Также существуют процедуры БПФ, которые вычисляют только величину и просто выбрасывают информацию о фазе, но они обычно работают не быстрее, чем позволяют вам делать это самостоятельно после более общего БПФ. Может быть, они экономят кодер несколько строк кода за счет не быть обратимым. Но многие библиотеки не утруждают себя включением этих более медленных и менее общих форм БПФ, а просто позволяют кодеру конвертировать или игнорировать то, что им нужно или не нужно.

кроме того, многие считают, что математика связана с много более элегантный, используя сложную арифметику.

(добавлено:) и, как еще один вариант, вы можете рассматривать два компонента каждого БПФ результата bin, а не как реальные и мнимые компоненты, как четные и нечетные компоненты, оба реальный.

если ваш коэффициент БПФ для данной частоты f и x + i y, вы можете посмотреть x как коэффициент Косинуса на этой частоте, в то время как y - это коэффициент синуса. Если вы добавите эти две волны для определенной частоты, вы получите сдвинутую по фазе волну на этой частоте; величина этой волны sqrt(x*x + y*y), равный величине комплексного коэффициента.

The Дискретное Косинусное Преобразование (DCT) является родственником Преобразование Фурье, которое дает все вещественные коэффициенты. Двумерный DCT используется многими алгоритмами сжатия изображений/видео.

1. дискретное преобразование Фурье в основном представляет собой преобразование из вектора комплексных чисел во" временной области "в вектор комплексных чисел в" частотной области " (я использую кавычки, потому что если вы применяете правильные коэффициенты масштабирования, DFT является его собственным обратным). Если ваши входы реальны, то вы можете выполнить сразу два DFT: возьмите входные векторы x и y и вычислить F(x + Яy). Я забудьте, как вы отделяете DFT после этого, но я подозреваю, что это что-то о симметрии и комплексных сопряжениях.

2. The дискретное косинусное преобразование sort-of позволяет представлять "частотную область" с реалами и часто используется в алгоритмах сжатия с потерями (JPEG, MP3). Удивительная вещь (для меня) заключается в том, что она работает, хотя она, по-видимому, отбрасывает информацию о фазе, но это также делает ее менее полезной для большинства целей обработки сигналов (Я не знаю простого способа сделать свертку / корреляцию с DCT).

Я, вероятно, получил некоторые детали неправильно ;)